Question

【题目】

已知函数 有极值，且函数的极值点是的极值点，其中是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）

（1）求关于的函数关系式；

（2）当时，若函数的最小值为，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）， （2）见解析

【解析】

试题（1）先分别求两函数极值点，再根据条件得关于的函数关系式；最后求自变量取值范围（2）先研究导函数零点情况，仅有一个零点，再根据导函数符号变化规律确定最小值，最后再利用导数求最小值函数单调性，根据单调性证明不等式

试题解析：（1）因为 ，令，解得．

列表如下．

		极小值

所以时， 取得极小值．

因为，

由题意可知，且

所以，

化简得，

由 ，得．

所以， ．

（2）因为 ，

所以

记，则，令，解得．

列表如下．

		极小值

所以时， 取得极小值，也是最小值，

此时， ．

令，解得．

列表如下．

		极小值

所以时， 取得极小值，也是最小值．

所以

．

令，则，

记 ， ，

则， ．

因为， ，所以，所以单调递增．

所以，所以．