Question

是否存在常数a、b、c使等式1²+2²+3²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=an（bn²+c）对于一切n∈N^*都成立，若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.

Answer 1

假设存在a、b、c使
1²+2²+3²+…+n²+（n-1）²+…+2²+1²=an（bn²+c）
对于一切n∈N^*都成立.
当n=1时，a（b+c）=1；
当n=2时，2a（4b+c）=6；
当n=3时，3a（9b+c）=19.
解方程组 解得
证明如下：
①当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成立.
②假设n=k（k∈N^*）时等式成立，
即1²+2²+3²+…+k²+（k-1）²+…+2²+1²
=k（2k²+1）；
当n=k+1时，
1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²+k²+（k-1）²+…+2²+1²
=k（2k²+1）+（k+1）²+k²
=k（2k²+3k+1）+（k+1）²
=k（2k+1）（k+1）+（k+1）²
=（k+1）（2k²+4k+3）
=（k+1）［2（k+1）²+1］.
即n=k+1时，等式成立.
因此存在a=，b=2，c=1，使等式对一切n∈N^*都成立.