Question

（2011•武进区模拟）如图，正方形ABDE与等边△ABC所在平面互相垂直，AB=2，F为BD中点，G为CE中点．
（1）求证：FG∥平面ABC；
（2）求三棱锥F-AEC的体积．

Answer 1

分析：（1）由题意，可取AC中点H，连GH，BH，证明BFGH为平行四边形，由此得FG∥BH，再由线面平行的判定定理得出线面平行；
（2）由图及题设条件，可先根据（1）的结论得出FG垂直EA，再在三角形FEC中证明FG垂直于EC，由此可得FG即是三棱锥F-AEC底面AEC上的高，又底面AEC的面积易求，由体积公式求值即可

解答：（1）证：取AC中点H，连GH，BH（1分）
∵G为CE中点，∴GH

∥ .

.

1

2

EA
又F为BD中点，ABDE为正方形，∴BF

∥ .

.

1

2

EA
∴BFGH为平行四边形∴FG∥BH（6分）
又BH?面ABC，FG?面ABC∴FG∥平面ABC（8分）
（2）解：∵面ABC⊥面ABDE于AB，EA⊥AB，EA?面ABDE
∴EA⊥面ABC，
∴GH⊥面ABC∴GH⊥BH（10分）
又BH⊥AC，AC∩HG=H∴BH⊥面AEC
∴FG⊥面ACE（12分）
∴VF-AEC=

1

3

S△ACE•FG=

1

3

•

1

2

•2•2•

3

2

×2=

2

3

3

（14分）

点评：本题考查了线面平行的证明，棱锥的体积公式求体积，线面垂直的证明，点线面距离的求法，涉及到的关系较多，熟练掌握空间中点线面位置关系的判断方法及相关的定义定理是解题的关键，本题考查了判断推理的能力，组织材料进行证明的能力，及空间想像能力，是立体几何中经典题的经典证法