Question

13．已知函数f（x）=lg（ax²-2x+a）．
（1）如果f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）如果f（x）的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把函数f（x）=lg（ax²-2x+a）的定义域为R，转化为不等式ax²-2x+a＞0对任意实数x恒成立，然后由二次函数的开口方向及判别式列不等式组求解；
（2）函数f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域为R，说明g（x）=ax²-2x+a能取到大于0的所有实数，再由二次函数的开口方向及判别式列不等式组求解．

解答 解：（1）函数f（x）=lg（ax²-2x+a）的定义域为R，说明对任意实数x，不等式ax²-2x+a＞0恒成立，
则需$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=（-2）^{2}-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞1；
（2）函数f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域为R，说明g（x）=ax²-2x+a能取到大于0的所有实数，
则a=0①，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=（-2）^{2}-4{a}^{2}≥0}\end{array}\right.$②，
解②得0＜a≤1，
∴0≤a≤1．

点评 本题考查函数的定义域和值域，考查了转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．