Question

（2012•丹东模拟）已知椭圆C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(

3

2

，1)，一个焦点是F（0，1）．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设椭圆C与y轴的两个交点为A₁、A₂，不在y轴上的动点P在直线y=a²上运动，直线PA₁、PA₂分别与椭圆C交于点M、N，证明：直线MN经过焦点F．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆的定义确定a的值，进而可求b，即可求得椭圆C的方程；
（II）设出MN的方程与椭圆方程联立，由直线PA₁方程、直线PA₂方程确定P的横坐标，进而利用韦达定理，可建立等式，由此可证结论．

解答：（I）解：由题意，椭圆的另一个焦点是F'（0，-1），
∵椭圆经过点(

3

2

，1)，
∴a=

( 3 2 )2+4 + ( 3 2 )2+0

2

=2，
∵c=1，∴b=

a2-c2

=

3

∴椭圆C的方程为

y2

4

+

x2

3

=1；
（II）证明：∵A₁、M、P三点共线，A₂、N、P三点也共线，
∴P是直线PA₁与直线PA₂的交点，
显然MN斜率存在时，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
设MN：y=kx+m，代入

y2

4

+

x2

3

=1，得（3k²+4）x²+6kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=-

6km

3k2+4

，x1x2=

3m2-12

3k2+4

，
直线PA₁方程y=

kx1+m-2

x1

x+2，直线PA₂方程y=

kx2+m+2

x2

x-2，
y=4分别代入，得x=

2x1

kx1+m-2

，x=

6x2

kx2+m+2

，
∴

2x1

kx1+m-2

=

6x2

kx2+m+2

，即2kx₁x₂-m（x₁+x₂-4x₂）-2（x₁+x₂+2x₂）=0，
∴2k×

3m2-12

3k2+4

-m（-

6km

3k2+4

-4x₂）-2（-

6km

3k2+4

+2x₂）=0，
∴（m-1）（

3km+6k

3k2+4

+2x₂）=0对任意的x₂都成立
∴m=1
∴直线MN经过焦点F．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．