Question

8．已知抛物线C的焦点坐标在x轴上且开口向右，焦点与准线的距离为4，定点M（-2，2），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，
（1）抛物线C的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，求直线的方程．

Answer 1

分析 （1）设出抛物线方程，利用焦点与准线的距离为4，求出p，即可求抛物线的方程；
（2）若$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=0，利用韦达定理，建立方程，即可求直线的方程．

解答 解：（1）由已知可令所求抛物线的方程为y²=2px（p＞0），而焦点与准线的距离为4，所以p=4，故所求抛物线C：y²=8x   …（4分）
（2）由题意可知：斜率k≠0，设直线AB为my=x-2，其中m=$\frac{1}{k}$．
联立抛物线方程得到y²-8my-16=0，△＞0，…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16．…（8分）
又$\overrightarrow{MA}$=（x₁+2，y₁-2），$\overrightarrow{MB}$=（x₂+2，y₂-2），
所以$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（x₁+2）（x₂+2）+（y₁-2）（y₂-2）=（my₁+4）（my₂+4）+（y₁-2）（y₂-2）
=（m²+1）y₁y₂+（4m-2）（y₁+y₂）+20
=-16（m²+1）+（4m-2）×8m+20=4（2m-1）²．
由4（2m-1）²=0，解得m=$\frac{1}{2}$．
所以k=$\frac{1}{m}$=2．
故所求的直线方程是y=2x-4．…（12分）

点评 本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．