Question

已知直线a、b、c，平面α∩平面β＝a，bα，cβ，且b与c无公共点，则b与c不平行的充要条件是

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A．b、c都与α相交

B．b、c中只有一条与α相交

C．b、c中至多一条与α相交

D．b、c中至少有一条与α相交

Answer 1

答案：D
解析：

解法一：若直线b与c不平行，又由b与c无公共点，则b与c必定异面，根据异面直线的定义和线面位置关系可知或者b与c都与a相交，或者b、c中有一条与a相交，另一条与a平行，即b、c中至少有一条与α相交，即D成立；反之，当D成立时，不难证明b与c必不平行，所以应选D． 　　解法二：由题设及异面直线的定义可知，若b、c都与a相交能推出b与c异面，即b与c不平行；反过来，b与c不平行不一定推出b、c都与a相交，即A是充分非必要条件，而不是充要条件，同理，B也是充分非必要条件，而非充要条件，又由b、c中至多有一条与a相交，包含b、c中有一条与a相交和b、c都不与a相交两种情形，而对于后者，即b∥a且c∥a，则b∥c．故c既非充分又非必要条件，综上所述，排除A、B、C三个选择项，从而选择D．

提示：

本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，充要条件，以及空间想象能力和等价转化能力．