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(1)①证明:两角和的余弦公式C(αβ):cos(αβ)=cos αcos β-sin αsin β

②由C(αβ)推导两角和的正弦公式S(αβ):sin(αβ)=sin αcos β+cos αsin β.

(2)已知cos α=-α∈(π,π),tan β=-β∈(,π),求cos(αβ).

解:(1)证明:①如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角αβ与-β, 使角α的始边为Ox,交⊙O于点P1,终边交⊙O于点P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于点P3;角-β的始边为Ox,终边交⊙O于点P4,则P1(1,0),P2(cos α,sin α),P3(cos(αβ),sin(αβ)),P4(cos(-β),sin(-β)).

P1P3P2P4及两点间的距离公式,得

[cos(αβ)-1]2+sin2(αβ)

=[cos(-β)-cos α]2

+[sin(-β)-sin α]2

展开并整理,得2-2cos (αβ)=2-2(cos αcos β-sin αsin β).

∴cos(αβ)

=cos αcos β-sin αsin β.

②由①易得,cos(α)=sin α,sin(α)=cos α.

sin(αβ)=cos[-(αβ)]=cos[(α)+(-β)]

=cos(α)cos(-β)-sin(α)sin(-β)

=sin αcos β+cos αsin β.

∴sin(αβ)=sin αcos β+cos αsin β.

(2)∵α∈(π,π),cos α=-.

∴sin α=-.∵β∈(,π),tan β=-.

∴cos β=-,sin β.

cos(αβ)=cos αcos β-sin αsin β

=(-)×(-)-(-.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下面材料:
根据两角和与差的正弦公式,有
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
α+β=A,α-β=B 有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(1)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2

(2)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A+cox2C-cos2B=1,直接利用阅读材料及(1)中的结论试判断△ABC的形状.

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科目:高中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下面材料:
根据两角和与差的正弦公式,有:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ…③
令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(Ⅰ)类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2

(Ⅱ)若△ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B=1-cos2C,试判断△ABC的形状.(提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
(2)已知△ABC的面积S=
1
2
AB
AC
=3
,且cosB=
3
5
,求cosC.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)①证明:两角和的余弦公式C(αβ):cos(αβ)=cos αcos β-      sin αsin β

②由C(αβ)推导两角和的正弦公式S(αβ):sin(αβ)=sin αcos β+cos αsinβ.

(2)已知△ABC的面积S·=3,且cos B,求cos C.

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