Question

7．已知函数y=cos2x+2cos（x+$\frac{π}{2}$），则y的取值范围是[-3，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 利用二倍角，诱导公式化简，转化为二次函数即可求y的取值范围．

解答 解：函数y=cos2x+2cos（x+$\frac{π}{2}$）=1-2sin²x-2sinx=1-2（sin²x+sinx+$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$-2（sinx+$\frac{1}{2}$）²．
当sinx=$-\frac{1}{2}$时，y可取得最大值为$\frac{3}{2}$．
当sinx=1时，y可取得最小值为sinx=$\frac{3}{2}-2×\frac{9}{4}$=-3．
则y的取值范围是[-3，$\frac{3}{2}$]．
故答案为：[-3，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查了函数值域的问题，利用了二倍角，诱导公式化简，二次函数的性质的运用，属于基础题．