Question

12．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的图象上任意两点（x₁，f（x₁），（x₂，f（x₂）），且φ的终边过点（1，-$\sqrt{3}$），若|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，$\frac{π}{6}$]，不等式mf（x）=2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象经过定点求得φ，由函数的最大值和最小值求出ω，可得函数的解析式．
（2）条件即等价于$m≥\frac{f（x）}{2+f（x）}=1-\frac{2}{2+f（x）}$，利用正弦函数的定义域和值域求得函数1-$\frac{2}{2+f（x）}$的最大值，可得m的范围．

解答 解：（1）角φ的终边经过点$P（1，-\sqrt{3}）$，$tanφ=-\sqrt{3}$，∵$-\frac{π}{2}＜φ＜0$，∴$φ=-\frac{π}{3}$．
由|f（x₁）-f（x₂）|=4时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{3}$，得$T=\frac{2π}{3}$，即$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{3}$，∴ω=3，
∴$f（x）=2sin（3x-\frac{π}{3}）$．
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{6}}]$时，3x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，sin（3x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]，∴$-\sqrt{3}≤f（x）≤1$，
于是，2+f（x）＞0，即mf（x）+2m≥f（x），等价于$m≥\frac{f（x）}{2+f（x）}=1-\frac{2}{2+f（x）}$，
由 $-\sqrt{3}≤f（x）≤1$，得$\frac{f（x）}{2+f（x）}$的最大值为$\frac{1}{3}$，所以，实数m的取值范围是$m≥\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象经过定点求得φ，由函数的最大值和最小值求出ω；正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．