Question

3．在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和为S_n满足S_n²=a_n（S_n-1），设b_n=log₂$\frac{S_n}{{{S_{n+2}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，则满足T_n≥6的最小正整数n是（　　）

• A． 10
• B． 11
• C． 12
• D． 9

Answer 1

分析 在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和为S_n满足S_n²=a_n（S_n-1），即S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1），化为：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1．利用等差数列的通项公式可得：S_n=$\frac{1}{n}$．可得b_n=log₂$\frac{S_n}{{{S_{n+2}}}}$=$lo{g}_{2}\frac{n+2}{n}$，利用对数的运算性质可得：数列{b_n}的前n项和为T_n=$lo{g}_{2}\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．由$lo{g}_{2}\frac{（n+1）（n+2）}{2}$≥6，解得（n+1）（n+2）≥2⁷，解得n．

解答 解：在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，其前n项和为S_n满足S_n²=a_n（S_n-1），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1），化为：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1．
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，解得：S_n=$\frac{1}{n}$．
∴b_n=log₂$\frac{S_n}{{{S_{n+2}}}}$=$lo{g}_{2}\frac{n+2}{n}$，
数列{b_n}的前n项和为T_n=$lo{g}_{2}\frac{3}{1}$+$lo{g}_{2}\frac{4}{2}$+$lo{g}_{2}\frac{5}{3}$+…+$lo{g}_{2}\frac{n+1}{n-1}$+$lo{g}_{2}\frac{n+2}{n}$
=$lo{g}_{2}（\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}×…×\frac{n+1}{n-1}×\frac{n+2}{n}）$
=$lo{g}_{2}\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．
由T_n≥6，即$lo{g}_{2}\frac{（n+1）（n+2）}{2}$≥6，解得（n+1）（n+2）≥2⁷，
令f（x）=x²+3x-126
=$（x+\frac{3}{2}）^{2}$-128-$\frac{1}{4}$，
可得：f（x）在[1，+∞）上单调递增．
而f（9）=-19＜0，f（10）=4＞0，
若x∈N^*，则n≥10．
则满足T_n≥6的最小正整数n是10．
故选：A．

点评 本题考查了对数的运算性质、等差数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．