Question

14．设a_n（n=2，3，4，…）是（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中x的一次项的系数，则$\frac{2017}{1008}$（$\frac{{3}^{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{3}^{2017}}{{a}_{2017}}$）的值是36．

Answer 1

分析 再展开式中令x的指数为1可得x的一次项系数即a_n=C_n²3^n-2，n≥2，在根据所求式子的结构特点，构造数列$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$=18（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），根据裂项求和即可．

解答 解：（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中的通项为C_n^r3^n-rx${\;}^{\frac{r}{2}}$，
令$\frac{r}{2}$=1得r=2，展开式中x的一次项系数为C_n²3^n-2，
即a_n=C_n²3^n-2，n≥2，
∴$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{3}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{18}{n（n-1）}$=18（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{2017}{1008}$（$\frac{{3}^{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{3}^{2017}}{{a}_{2017}}$）=$\frac{2017}{1008}$×18×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{2017}{1008}$×18×（1-$\frac{1}{2017}$）=36，
故答案为：36．

点评 本题考查了二项式定理展开式的系数，以经济裂项求和，属于中档题