Question

2．在平面直角坐标系中xOy中，已知定点A（0，-8），M，N分别是x轴、y轴上的点，点P在直线MN上，满足：$\overrightarrow{NM}$+$\overrightarrow{NP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MN}$=0．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设F为P点轨迹的一个焦点，C、D为轨迹在第一象限内的任意两点，直线FC，FD的斜率分别为k₁，k₂，且满足k₁+k₂=0，求证：直线CD过定点．

Answer 1

分析 （1）设出P、M、N的坐标，由已知向量等式列式，消参数可得动点P的轨迹方程；
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用点差法可得CD的斜率与横坐标的关系，再由k₁+k₂=0求得x₁x₂=4．写出CD所在直线方程，取x=0求得y=-1．可得直线CD过定点（0，-1）．

解答 解：（1）设P点坐标（x，y），M点坐标为（a，0），N点坐标为（0，b）．
由$\overrightarrow{NM}$+$\overrightarrow{NP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MN}$=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{y=2b}\\{-{a}^{2}+8b=0}\end{array}\right.$，消去a，b得x²=4y．
∴P点轨迹方程为x²=4y；
证明：（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则${{x}_{1}}^{2}=4{y}_{1}$，${{x}_{2}}^{2}=4{y}_{2}$，两式相减：得${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=4（{y}_{1}-{y}_{2}）$，
∴${k}_{CD}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}$．
${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$，
由k₁+k₂=0，得x₁y₂+x₂y₁=x₁+x₂，
∴${x}_{1}•\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+{x}_{2}•\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}={x}_{1}+{x}_{2}$，得x₁x₂=4．
直线CD：$y-{y}_{1}=\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}（x-{x}_{1}）$，即$y-{y}_{1}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4}（x-{x}_{1}）$．
令x=0，得$y={y}_{1}-\frac{{{x}_{1}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}}{4}=\frac{4{y}_{1}-{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}}{4}=-\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=-1$．
∴直线CD过定点（0，-1）．

点评 本题考查直接法求轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．