Question

19．若曲线f（x）=ax³+ln（-2x）存在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是（0，+∞）．

Answer 1

分析 先求函数f（x）=ax³+ln（-2x）的导函数f′（x），再将“线f（x）=ax³+ln（-2x）存在垂直于y轴的切线”转化为f′（x）=0有正解问题，最后利用数形结合或分离参数法求出参数a的取值范围．

解答 解：∵f′（x）=3ax²+$\frac{1}{x}$（x＜0），
∵曲线f（x）=ax³+ln（-2x）存在垂直于y轴的切线，
∴f′（x）=3ax²+$\frac{1}{x}$=0有负解，
即a=-$\frac{1}{{3x}^{3}}$有负解，
∵-$\frac{1}{{3x}^{3}}$＞0，
∴a＞0，
故答案为（0，+∞）．

点评 本题考察了导数的几何意义，转化化归的思想方法，解决方程根的分布问题的方法．