Question

19．如图，ABCD是边长为3的正方形，AF∥DE，DE=3AF．
（1）求证：BF∥面EDC
（2）设面EFB∩面EDC=m，判断直线BF与直线m的位置关系，并说明理由；
（3）设点M是线段BD上的一个动点，试确定M的位置，使得AM∥面BEF，并说明
你的理由．

Answer 1

分析 （1）可以证明平面ABF∥平面EDC，得出直线BF∥面EDC；
（2）由线面平行的性质定理，即可证明线性线平行；
（3）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF，作辅助线，取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，证明AM∥FN即可．

解答 解：（1）证明：正方形ABCD中，
AB∥DC，AB?平面EDC，DC?平面EDC，∴AB∥平面EDC，
又AF∥DE，AF?平面EDC，DE?平面EDC，∴AF∥平面EDC；
又AF∩AB=A，AF?平面ABF，AB?平面ABF，
∴平面ABF∥平面EDC；
又BF?平面ABF，
∴BF∥面EDC；
（2）设面EFB∩面EDC=m，则直线BF∥m，
证明如下：∵BF∥平面EDC，BF?平面EFB，
且平面EFB∩平面EDC=m，
∴BF∥m；
（3）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF；
如图所示，

取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，
则DE∥MN，且DE=3MN，
∵AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，
∴四边形AMNF是平行四边形，
∴AM∥FN；
又∵AM?平面BEF，FN?平面BEF，
∴AM∥平面BEF．

点评 本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了推理与证明的应用问题，是中档题目．