Question

10．关于x的不等式|x-1|＞a+1（a∈R）的解集为A．
（1）若a=1，解不等式；
（2）求A；
（3）B={x|x=2k-1，k∈Z}，若C_RA∩B中有且只有5个元素．求a的范围．

Answer 1

分析 （1）a=1时，关于x的不等式即|x-1|＞2，由此求得x的范围．
（2）分类讨论a的值，分a＜-1、a=-1、a＞-1三种情况，分别求得A．
（3）B={x|x=2k-1，k∈Z}表示奇数集合，再分当a＜-1、a=-1、a＞-1三种情况，分别求得a的范围，综合可得结论．

解答 解：（1）a=1时，关于x的不等式即|x-1|＞2，即x-1＜-2 或x-1＞2，
求得它的解集为{x|x＜-1 或x＞3}．
（2）当a＜-1时，a+1＜0，不等式|x-1|＞a+1（a∈R）的解集为A=R；
当a=-1时，不等式|x-1|＞0的解集为A={x|x≠1}；
当a＞-1时，a+1＞0，由|x-1|＞a+1，可得x-1＞a+1，或x-1＜-a-1，
求得它的解集为{x|x＞a+2，或 x＜-a}．
（3）B={x|x=2k-1，k∈Z}表示奇数集合，当a＜-1，若C_RA=∅，不满足C_RA∩B中有且只有5个元素；
当a=-1时，A={1}，不满足当C_RA∩B中有且只有5个元素；
当a＞-1时，C_RA=[-a，a+2]，故[-a，a+2]中含有5个奇数，
而这5个奇数的间距为8，如：1，3，5，7，9，
故a+2-（-a）≥8，求得a≥3．
综上可得，a≥3．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．