Question

2．若关于x的方程log₂x+1=2log₂（x-a）恰有一个实数解，则实数a的取值范围是a≥0或a=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 首先化简log₂x+1=2log₂（x-a），可得log₂2x=2log₂（x-a），所以$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-a＞0\\ x-a=\sqrt{2x}\end{array}\right.$；然后根据关于x的二元一次方程恰有一个实数解，可得直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$在平面直角坐标系中有且只有一个交点，分别画出直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$的图象，判断出a的取值范围即可

解答 解：由log₂x+1=2log₂（x-a），
可得log₂2x=2log₂（x-a），
所以$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\ x-a＞0\\ x-a=\sqrt{2x}\end{array}\right.$；
因为关于x的二元一次方程恰有一个实数解，
所以直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$在平面直角坐标系中有且只有一个交点，
①当直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$相切时，
由x-a=$\sqrt{2x}$，可得x²-2（a+1）x+a²=0，
△=0，可得4（a+1）²-4a²=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$；
②根据图象，可得当-a≤0，即a≥0时，直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$恒有一个交点，
综上，a的取值范围为：a≥0或a=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：a≥0或a=-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了根的存在性以及根的个数的判断，考查了数形结合的运用，属于中档题，解答此题的关键是分析出直线y=x-a与曲线y=$\sqrt{2x}$在平面直角坐标系中有且只有一个交点，并分别画出它们的图象．