Question

（2013•黄浦区二模）设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且y₁y₂=-4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线2x+3y=0平分线段AB，求直线l的倾斜角．
（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k₀，k₁，k₂．求证：当k₀=1时，k₁+k₂为定值．

Answer 1

分析：（1）设直线l的方程为x=ay+

p

2

，代入y²=2px，消掉x得y的二次方程，利用韦达定理及y₁y₂=-4即可求得p值，从而得抛物线方程；
（2）由（1）可知y₁+y₂=2pa=4a，设点D是线段AB的中点，由中点坐标公式可得D点横坐标，代入直线l方程可得纵坐标，根据点D在直线2x+3y=0上可求得a值，设直线l的倾斜角为α，则tanα=

1

a

，根据倾斜角范围即可求得α；
（3）由k₀=1可求得y_M，从而得知M点坐标，由（1）知y₁+y₂=4a，y₁y₂=-4，根据点A、B在直线l上及斜率公式把k₁+k₂表示出来，进行化简即可求得定值；

解答：解：（1）设直线l的方程为x=ay+

p

2

，代入y²=2px，可得y²-2pay-p²=0（*），
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是直线l与抛物线的两交点，
故y₁，y₂是方程（*）的两个实根，
∴y1y2=-p2，又y₁y₂=-4，所以-p²=-4，又p＞0，可得p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x．　　　　　　　　　　　　　
（2）由（1）可知y₁+y₂=2pa=4a，
设点D是线段AB的中点，则有yD=

y1+y2

2

=2a，xD=ayD+

p

2

=2a2+1，
由题意知点D在直线2x+3y=0上，
∴2（2a²+1）+6a=0，解得a=-1或-

1

2

，
设直线l的倾斜角为α，则tanα=

1

a

=-1或-2，又α∈[0，π），
故直线l的倾斜角为

3

4

π或π-arctan2．　　　　  
（3）k0=

yM

xM-1

=

yM

-2

=1，可得y_M=-2，
由（1）知y₁+y₂=4a，又y₁y₂=-4，
∴k1+k2=

y1+2

x1+1

+

y2+2

x2+1

=

y1+2

ay1+2

+

y2+2

ay2+2

=

2ay1y2+2a(y1+y2)+2(y1+y2)+8

a2y1y2+2a(y1+y2)+4

=

-8a+8a2+8a+8

-4a2+8a2+4

=

8(a2+1)

4(a2+1)

=2，
所以k₁+k₂为定值．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线斜率及抛物线方程，直线方程、斜率公式是解决该类问题的基础，应熟练掌握．