Question

16．（1）已知双曲线的一条渐近线方程是y=-$\frac{3}{2}$x，焦距为2$\sqrt{13}$，求此双曲线的标准方程；
（2）求以双曲线$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设双曲线方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=λ（{λ≠0}）$，据此分两种情况讨论：①当λ＞0时，其方程为：$\frac{{x}^{2}}{4λ}$-$\frac{{y}^{2}}{9λ}$=1，由题意可得4λ+9λ=13，解可得λ的值，代入双曲线的方程可得一个双曲线的方程，②当λ＜0时，方程为$\frac{{y}^{2}}{-9λ}$-$\frac{{x}^{2}}{-4λ}$=1，同理计算可得λ的值，代入双曲线的方程可得另一个双曲线的方程，综合可得答案；
（2）根据题意，由双曲线的方程，可得该双曲线的焦点、顶点的坐标，继而可得要求椭圆的焦点．顶点的坐标，代入椭圆的标准方程可得答案．

解答 解：（1）根据题意，由于双曲线的渐近线方程为$y=-\frac{3}{2}x$，可设双曲线方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=λ（{λ≠0}）$；
分两种情况讨论：
①当λ＞0时，其方程为：$\frac{{x}^{2}}{4λ}$-$\frac{{y}^{2}}{9λ}$=1，焦点在x轴上，
则有4λ+9λ=13，解可得λ=1，
则双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
②当λ＜0时，方程为$\frac{{y}^{2}}{-9λ}$-$\frac{{x}^{2}}{-4λ}$=1，
则有（-9λ）+（-4λ）=1，解可得λ=-1，
则双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
综上所述，双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1或$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）已知双曲线$\frac{{y}^{2}}{16}$-$\frac{{x}^{2}}{9}$=1，
所以该双曲线的焦点坐标为（0，5）和（0，-5），顶点为（0，4）和（0，-4）．
所以椭圆的焦点坐标是（0，4）和（0，-4），顶点为（0，5）和（0，-5）
所以该椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{25}$+$\frac{{x}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查椭圆、双曲线的标准方程的求法，对于此类问题，需要首先分析明确椭圆、双曲线焦点的位置，不能明确的需要分类讨论．