Question

4．已知a∈R，若不等式lnx-$\frac{a}{x}$+x-2＞0对于任意x∈（1，+∞）恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A． a≤2
• B． a≤1
• C． a≤-1
• D． a≤0

Answer 1

分析 问题转化为a＜xlnx+x²-2x，x∈（1，+∞），令f（x）=xlnx+x²-2x，（x＞1），根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：由已知得，a＜xlnx+x²-2x，x∈（1，+∞），
令f（x）=xlnx+x²-2x，（x＞1），
则f'（x）=lnx+2x-1，这里lnx＞0，2x-1＞0，其中x∈（1，+∞），
故f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增，
故f（x）＞-1，
故a≤-1，
故选：C．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道基础题．