Question

9．已知函数f（x）=2log₄（1+x）-log₄（1+ax²）在定义域（-1，1）内是奇函数，其中a是常数．
（1）求a的值；
（2）求使不等式f（-x）≤f（x）-1成立的实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知函数解析式求出f（-x），再由f（x）+f（-x）=0求得a值；
（2）由f（-x）≤f（x）-1，得$f（x）≥\frac{1}{2}$，即$2{log_4}（1+x）-{log_4}（1-{x^2}）≥\frac{1}{2}$．然后求解对数不等式得答案．

解答 解：（1）∵$f（x）=2{log_4}（1+x）-{log_4}（1+a{x^2}）$，
∴$f（-x）=2{log_4}（1-x）-{log_4}（1+a{x^2}）$．  
∴$f（-x）+f（x）=2{log_4}（1-x）+2{log_4}（1+x）-2{log_4}（1+a{x^2}）$=$2{log_4}（1-{x^2}）-2{log_4}（1+a{x^2}）$
∵f（x）在定义域（-1，1）内是奇函数，∴f（-x）+f（x）=0，
即$2{log_4}（1-{x^2}）-2{log_4}（1+a{x^2}）=0⇒a=-1$；    
（2）由f（-x）≤f（x）-1，得-f（x）≤f（x）-1，∴$f（x）≥\frac{1}{2}$，
即$2{log_4}（1+x）-{log_4}（1-{x^2}）≥\frac{1}{2}$．       
∴${log_4}{（1+x）^2}-{log_4}（1-{x^2}）≥{log_4}{4^{\frac{1}{2}}}⇒{log_4}\frac{1+x}{1-x}≥{log_4}2$． 
∵4＞1，∴$\frac{1+x}{1-x}≥2$，其中-1＜x＜1．解得$\frac{1}{3}≤x＜1$．
故所求的实数x的取值范围是$\{x|\frac{1}{3}≤x＜1\}$．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，体现了数学转化思想方法，是中档题．