Question

如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.  (1)求证：BF∥平面ACGD； (2)求二面角D­CG­F的余弦值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）设DG的中点为M，连接AM，FM.可得BF//AM；（2）做出二面角平面角，利用三角函数求.
也可以利用空间向量求解.
试题解析：方法一　(1)设DG的中点为M，连接AM，FM.
则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形．
∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，
∴AB∥DE.∵AB＝DE，
∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四边形ABFM是平行四边形．
∴BF∥AM.
又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，
故BF∥平面ACGD.
(2)由已知AD⊥平面DEFG，∴DE⊥AD.又DE⊥DG，
∴DE⊥平面ADGC.∵MF∥DE，∴MF⊥平面ADGC.
在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则∠MNF为所求二面角的平面角．
连接CM.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AC∥DM.又AC＝DM＝1，所以四边形ACMD为平行四边形，∴CM∥AD，且CM＝AD＝2.
∵AD⊥平面DEFG，∴CM⊥平面DEFG，∴CM⊥DG.

在Rt△CMG中，∵CM＝2，MG＝1，∴MN＝＝＝.
在Rt△FMN中，
∵MF＝2，MN＝，∴FN＝＝.
∴cos∠MNF＝＝＝，∴二面角D­CG­F的余弦值为.
方法二　由题意可得，AD，DE，DG两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,2)，B(2,0,2)，C(0,1,2)，E(2,0,0)，G(0,2,0)，F(2,1,0)．
(1)＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)，＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，
∴＝，∴BF∥CG.又BF?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.
(2)＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)．设平面BCGF的法向量为n₁＝(x，y，z)，
则令y＝2，则n₁＝(1,2,1)．则平面ADGC的法向量n₂＝(1,0,0)．
∴cos〈n₁，n₂〉＝＝＝.
由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D­CG­F的余弦值为.