Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．
（1）判断并证明函数的单调性；　　  
（2）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用定义法进行证明，设x₁＞x₂，证出f（x₁）＞f（x₂），从而函数f（x）在定义域上单调递增，（2）由f（-x）=-f（x）得出等式，求出a即可．

解答： 解：（1）设x₁＞x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=2•

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＞x₂，
∴2x1＞2x2，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在定义域上单调递增．
（2）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=a-

2

2-x+1

=-（a-

2

2x+1

），
∴2a=

2

2-x+1

+

2

2x+1

，
∴2a=

2(2x+1)

2x+1

∴a=1．

点评：本题考察了函数单调性的证明，函数的奇偶性，是一道基础题．