Question

数列满足．
（1）计算，，，，由此猜想通项公式，并用数学归纳法证明此猜想；
（2）若数列满足，求证：．

Answer 1

（1）1，，， a_n＝ (n∈N^*)．
（2）运用数学归纳法证明来分为两步骤来加以证明即可。

试题分析：解：（1）当n＝1时，a₁＝S₁＝2－a₁，∴a₁＝1.
当n＝2时，a₁＋a₂＝S₂＝2×2－a₂，∴a₂＝.                        1分
当n＝3时，a₁＋a₂＋a₃＝S₃＝2×3－a₃，∴a₃＝.
当n＝4时，a₁＋a₂＋a₃＋a₄＝S₄＝2×4－a₄，∴a₄＝.              2分
由此猜想a_n＝ (n∈N^*)．                                     4分
现用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时， a₁＝＝1，结论成立．
②假设n＝k（k≥1且k∈N^*）时，结论成立，即a_k＝，那么当n＝k＋1时，
a_k＋1＝S_k＋1－S_k＝2(k＋1)－a_k＋1－2k＋a_k＝2＋a_k－a_k＋1，
∴2a_k＋1＝2＋a_k，∴a_k＋1＝＝＝，故当n＝k＋1时，结论成立，
由①②知猜想a_n＝ (n∈N^*)成立．                                    8分
(2)由(1)知，，．               9分
解法1：当时， 
                10分

．                                12分
解法2：当时，，
                           10分

．              12分
解法3： 当时，                     10分


 
 
．   12分
点评：主要是考查了数列的猜想以及数学归纳法的运用，属于基础题。