Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+a）（a为常数）是R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+x²是区间[-1，1]上的减函数．
（I）求a的值；
（II）若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围；
（III）讨论关于x的方程lnf（x）=x²-x+m解的情况，并求出相应的m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f（x）=log₂（2^x+a）（a为常数）是R上的奇函数，根据奇函数的特性，定义在R上的奇函数图象必要原点，将（0，0）点代入即可得到答案．
（II）根据（I）中的结论，我们可以求出函数g（x）的解析式，进而根据函数g（x）=λx+x²是区间[-1，1]上的减函数，确定出函数在区间[-1，1]上的最大值，进而将问题转化为t²+（t+1）λ＞0，当λ≤2恒成立，进而求出满足条件的t的取值范围．
（III）由（I）中我们可得将方程lnf（x）=x²-x+m转化为lnx-x²+x=m，构造函数h（x）=lnx-x²+x，并利用导数法分析其图象和性质，即可得到答案．

解答：解：（I）∵函数f（x）=log₂（2^x+a）（a为常数）是R上的奇函数，
∴f（0）=log₂（2⁰+a）=log₂（1+a）=0
即a=0
（II）由（I）知f（x）=x，
∴g（x）=λx+x²，
又∵函数g（x）=λx+x²是区间[-1，1]上的减函数
∴-

λ

2

≥1
即λ≤-2
当x=-1时，函数g（x）取最大值-λ+1
若g（x）＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
只需要-λ+1＜t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，
即t²+（t+1）λ＞0，其中λ≤2恒成立，
令h（λ）=t²+（t+1）λ＞0，
则

t+1＜0 h(-2)＞0

，
即

t＜-1 t＞1+ 3 ，或t＜1- 3

∴t＜-1…（8分）
（III）由（I）得方程lnf（x）=x²-x+m
可化为lnx-x²+x=m
设h（x）=lnx-x²+x
则h′（x）=

1

x

-2x+1
令h′（x）=0
则x=

1

2

，x=-1（舍去）…（12分）
当x∈（0，

1

2

）时，h′（x）＞0，当x∈（

1

2

，+∞）时，h′（x）＜0，
∴x=

1

2

函数有最大值

1

4

-ln2，
∴当m∈（

1

4

-ln2，+∞）时，原方程无解；
当m=

1

4

-ln2时，原方程有唯一解；
当m∈（-∞

1

4

-ln2）时，原方程有两解．…（14分）

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，函数单调性的性质，奇函数，函数恒成立问题，是对函数图象、性质、恒成立问题、与方程转化关系的综合考查，难度比较大．