Question

过点P（

10

2

，0）作倾斜角为α的直线l与曲线C：x²+2y²=1交于不同的两点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：设出直线的参数方程，把直线的参数方程代入椭圆方程，由于直线与椭圆相交两点，可得△＞0，得出sinα的取值范围，再利用参数的几何意义可得|PM|•|PN|=|t₁t₂|=

3 2

1+sin2α

即可．

解答： 解：设直线l的参数方程为

x= 10 2 +tcosα y=tsinα

t为参数）．
把直线的参数方程代入椭圆方程x²+2y²=1，整理得）
代入曲线C的方程并整理得(1+sin2α)t2+ 

10

 tcosα+

3

2

=0
设两点M，N所对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=

3 2

1+sin2α

则|PM|•|PN|=|t₁t₂|=

3 2

1+sin2α

由△=(

10

cosα)2-4(1+sin2α)×

3

2

＞0
得0≤sinα＜

1

2

，
所以|PM|•|PN|的取值范围是（

6

5

，

3

2

]．

点评：本题考查了直线的参数方程及其几何意义、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．