Question

已知双曲线及点M（1，1），是否存在以点M为中点的弦？若存在，求出弦所在直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：先假设存在这样的直线l，分斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程，当k存在时，与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则△＞0，求出k的范围，又M是线段AB的中点，得出k的值，它与前面的范围矛盾；当k不存在时，直线经过点M但不满足条件，从而得出答案．
解答：解：设过点M（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1
（1）当k存在时有 得（4-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-5=0    （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△=（2k²-2k）²-4（4-k²）（-k²+2k-5）＞0，k＜，
又方程（1）的两个不同的根是两交点A、B的横坐标
∴x₁+x₂=，又M（1，1）为线段AB的中点
∴=1   即 =2，∴k=4，
当k=4时，4-k²≠0，△＜0，故当k=4时，方程（1）无实数解．
故过点M（1，1）与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在．
（2）当x=1时，直线经过点M但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在．
点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系，特别是相交时的中点弦问题，解题时要特别注意韦达定理的重要应用，学会判断直线与曲线位置关系的判断方法