Question

（2013•石景山区二模）如图1，四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．
（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；
（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；
（Ⅲ）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为

3

4

？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，利用线面垂直的性质定理可得BC⊥PD，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ∥CD，MQ=

1

4

CD．
再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM∥BQ，利用线面平行的判定定理即可证明．
（Ⅲ）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角的夹角公式即可得出．

解答：（Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD．
又∵PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，
∵BD∩PD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．
由左视图知 PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，MQ=

1

4

CD．
在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．
又 BD=2，∴AB=1，AD=

3

．
又∵AB∥CD，AB=

1

4

CD，
∴AB∥MQ，AB=MQ．
∴四边形ABQM为平行四边形，
∴AM∥BQ．
∵AM?平面PBC，BQ?平面PBC，
∴直线AM∥平面PBC．
（Ⅲ）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为

3

4

．证明如下：
∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
∴D(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(

3

，1，0)，C(0，4，0)，M(0，0，3)．
 设 D(0，0，0)，A(

3

，0，0)，B(

3

，1，0)，C(0，4，0)，M(0，0，3)，其中N（0，t，0）．
∴

AM

=(-

3

，0，3)，

BN

=(-

3

，t-1，0)．
要使AM与BN所成角的余弦值为

3

4

，则有 

| AM • BN |

| AM || BN |

=

3

4

，
∴

|3|

2 3 • 3+(t-1)2

=

3

4

，解得 t=0或2，均适合N（0，t，0）．
故点N位于D点处，此时CN=4；或CD中点处，此时CN=2，有AM与BN所成角的余弦值为

3

4

．

点评：熟练掌握由三视图得到线面位置关系和数据、线面垂直的判定和性质定理、线面平行的判定和性质定理、异面直线所成的角、平行线分线段成比例的判定和性质、平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．