Question

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，．
（Ⅰ）若向量∥求满足的角B的值；
（Ⅱ）若，试用角B表示角A与C；
（Ⅲ）若，且，求cosB的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，，，
∴b²=ac，
∴，
当且仅当a=c时取等号，
∵0＜B＜π，∴．
由
得：，
∵，
∴．
（Ⅱ）在△ABC中，∵
（Ⅲ）∵，
∴a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB，
由及（Ⅱ）的结论得：
∴，
展开化简，得，
∵，
∴．
分析：（1）根据所给的向量的坐标和向量的平行关系，写出三条边的关系，代入角B的余弦定理，利用均值不等式表示出角B的余弦的取值范围，根据求角B的值．
（Ⅱ）根据角A与角B的差是，还有两角之和是π-B，得到角A和角B的关系，即得到关于他们的二元一次方程，解方程组得到结果．本题只起到一个铺垫作用．
（Ⅲ）根据两个向量的数量积的值，得到边之间的关系，a+c=2b，利用正弦定理把变化为角和第二问所得的结论，展开整理，得到关于角B的三角函数值．
点评：本题考查平面向量数量积的运算，正弦定理和余弦定理，同角的三角函数关系，是一个综合题，也是近几年经常出现的一种问题．