Question

19．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=c，|$\overrightarrow{AC}$|=b．
（Ⅰ）若b=3，c=5，sinA=$\frac{4}{5}$，求|$\overrightarrow{BC}$|；
（Ⅱ）若|$\overrightarrow{BC}$|=2，$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为$\frac{π}{3}$，则当|$\overrightarrow{AB}$|取到最大值时，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

分析 （1）求出cosA，利用余弦定理得出a；
（2）利用正弦定理得出外接圆半径，从而得出外接圆的面积．

解答 解：（1）在△ABC中，∵sinA=$\frac{4}{5}$，∴cosA=$±\frac{3}{5}$．
由余弦定理得：|$\overrightarrow{BC}$|²=a²=b²+c²-2bccosA=9+25±18．
∴a²=16或52．
∴|$\overrightarrow{BC}$|=4或2$\sqrt{13}$．
（2）由题意可知A=$\frac{π}{3}$，a=2．
由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=2R$，∴R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴△ABC的外接圆的面积S=$π×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}$=$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用，属于基础题．