Question

如图，已知PO为正三棱锥P-ABC的高，AB=a，侧面与底面成α角，过O点作平面平行于PC和AB，得截面EFGH．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）截面EFGH的面积．

Answer 1

分析：（1）由三棱锥P-ABC为正棱锥和PO为正三棱锥P-ABC的高，则0为底面的中心，可知CO⊥AB，易得CO⊥平面PCO，可得到结论．
（2）如图所示：OK=

3

6

a，∠PKO=α，PK=

OK

cosα

=

3 a

6cosα

，侧棱为PA=

PK2+AK2

=

3+9(cosα)2

6cosα

a，求得四边形的边长，又是矩形．最后由矩形面积求解．

解答：解：（1）∵三棱锥P-ABC为正棱锥
∵PO为正三棱锥P-ABC的高
∴0为底面的中心
∴CO⊥AB
∴CO⊥平面PCO
∴PC⊥AB

（2）如图所示：OK=

3

6

a
又∵∠PKO=α
∴PK=

OK

cosα

=

3 a

6cosα

侧棱为：PA=

PK2+AK2

=

3+9(cosα)2

6cosα

a
∴EF=

a

2

，EH=

3+9(cosα)2

12cosα

a
又∵四边形EFGH为矩形
∴S四边形=

3+9(cosα)2

24cosα

a2

点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了侧面与底面所成的角，四边形的形状及其相应量与棱锥的量的关系，属中档题．