Question

定义在[-1，1]上的函数f（x）满足f（1）=1，且当a，b∈[-1，1]时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论．
（2）若f（x）是奇函数，不等式mf（x）≤m²+m-3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：设-1≤x₁＜x₂≤1，令a=x₂，b=x₁，
则x₂f（x₂）+x₁f（x₁）＞x₂f（x₁）+x₁f（x₂）
∴（x₂-x₁）f（x₂）+（x₁-x₂）f（x₁）＞0，
∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）当m=0时，0≤-3不成立（舍去）
当m＞0时，∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）≤f（1）=1
∴mf（x）≤m
∴
∴
当m＜0时，∵f（x）是奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=-1，
∴-1≤f（x）≤1，
∴mf（x）≤-m
∴
∴m≤-3
综上所述：或m≤-3．
分析：（1）设-1≤x₁＜x₂≤1，令a=x₂，b=x₁，则x₂f（x₂）+x₁f（x₁）＞x₂f（x₁）+x₁f（x₂），所以（x₂-x₁）f（x₂）+（x₁-x₂）f（x₁）＞0，由此能够证明f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）当m=0时，0≤-3不成立；当m＞0时，f（x）≤f（1）=1，mf（x）≤m，所以；当m＜0时，mf（x）≤-m，m≤-3．
点评：本题考查函数的恒成立问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．