Question

2．如图，△ABC中，∠B满足$\sqrt{2}$sinB-cosB=1，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（1）求tanB的值；
（2）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{2}$sinB-cosB=1，可得3cos²B+2cosB-1=0，求出cosB，即可求tanB的值；
（2）利用余弦定理，建立方程组，即可求BC的长．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}$sinB-cosB=1，
∴$\sqrt{2}$sinB=cosB+1，
∴2sin²B=（cosB+1）²，
∴3cos²B+2cosB-1=0，
∵0°＜B＜180°，
∴cosB=$\frac{1}{3}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴tanB=2$\sqrt{2}$；
（2）设CD=x，BC=y，则AD=2x，
△ABD中，2²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+4x²-2•$\frac{4\sqrt{3}}{3}$•2x•cos∠ADB，
△CBD中，y²=（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²+x²-2•$\frac{4\sqrt{3}}{3}$•x•cos∠CDB，
相加可得4+y²=$\frac{32}{3}$+5x²，①
△ABC中，9x²=4+y²-2•2•y•$\frac{1}{3}$，②
①②联立可得y=$\frac{5\sqrt{29}-5}{6}$，
∴BC=$\frac{5\sqrt{29}-5}{6}$．

点评 本题考查同角三角函数关系，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．