Question

17．已知{a_n}是等差数列，点（a_n，b_n）在函数f（x）=2^x的图象上（n∈N^*），且a₁=0，函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处切线的横截距为1-$\frac{1}{ln2}$．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的前n项和为S_n，c_n+1=（-1）ⁿ⁺¹c_n+S_n，c₁=2，求数列{c_n}的前40项的和．

Answer 1

分析 （1）通过对f（x）=2^x求导可知f'（x）=2^xln2，进而可知切线方程为y-b₂=（${2}^{{a}_{2}}$ln2）（x-a₂），通过解方程a₂-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{{a}_{2}}ln2}$=1-$\frac{1}{ln2}$可知a₂=1，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知S_n=2ⁿ-1，从c_n+1=（-1）ⁿ⁺¹c_n+S_n，进而C_4n+1=C_4n+1、C_4n+2=C_4n+1+S_4n+1、C_4n+3=-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2、C_4n+4=-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2+S_4n+3，计算可知d_n=C_4n+1+C_4n+2+C_4n+3+C_4n+4=-2+14•2⁴ⁿ，计算即得结论．

解答 解：（1）由f（x）=2^x得f'（x）=2^xln2，
∴函数f（x）的图象在点（a₂，b₂）处的切线斜率k=f′（a₂）=${2}^{{a}_{2}}$ln2，
从而切线方程为y-b₂=（${2}^{{a}_{2}}$ln2）（x-a₂），
∴切线在x轴上的截距为a₂-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{{a}_{2}}ln2}$，
从而a₂-$\frac{{b}_{2}}{{2}^{{a}_{2}}ln2}$=a₂-$\frac{{b}_{2}}{{b}_{2}ln2}$=a₂-$\frac{1}{ln2}$=1-$\frac{1}{ln2}$，
∴a₂=1，
∴公差d=a₂-a₁=1-0=1，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=n-1；
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2^n-1；
（2）由（1）可知S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴c_n+1=（-1）ⁿ⁺¹c_n+S_n=（-1）ⁿ⁺¹c_n+2ⁿ-1，
∴C_4n+1=C_4n+1，
C_4n+2=C_4n+1+S_4n+1，
C_4n+3=-C_4n+2+S_4n+2=-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2，
C_4n+4=C_4n+3+S_4n+3=-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2+S_4n+3，
令d_n=C_4n+1+C_4n+2+C_4n+3+C_4n+4
=C_4n+1+（C_4n+1+S_4n+1）+（-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2）+（-C_4n+1-S_4n+1+S_4n+2+S_4n+3）
=-S_4n+1+2S_4n+2+S_4n+3
=-（2⁴ⁿ⁺¹-1）+2（2⁴ⁿ⁺²-1）+2⁴ⁿ⁺³-1
=-2+14•2⁴ⁿ，
∴所求值为d₀+d₁+d₂+…+d₉
=-20+14（2⁰+2⁴+2⁸+…+2³⁶）
=-20+14•$\frac{1-{2}^{40}}{1-{2}^{4}}$
=-20+$\frac{14}{15}$•（2⁴⁰-1）．

点评 本题考查等差数列的概念，前n项和公式，导数的几何意义等知识；考查学生的运算求解能力、推理论证能力，注意解题方法的积累，属于难题．