Question

12．若数列{a_n}是公差为正数的等差数列，且对任意n∈N^*有a_n•S_n=2n³-n²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在数列{b_n}，使得数列{a_nb_n}的前n项和为A_n=5+（2n-3）2^n-1（n∈N^*）？若存在，求出数列{b_n}的通项公式及前n项和T_n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对任意n∈N^*有a_n•S_n=2n³-n²，分别令n=1，2时，a₁•a₁═2-1，a₂（a₁+a₂）=2×2³-2²，a_n＞0，解得a₁，a₂．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）假设存在数列{b_n}，使得数列{a_nb_n}的前n项和为A_n=5+（2n-3）2^n-1（n∈N^*），可得b₁+3b₂+…+（2n-1）b_n=5+（2n-3）2^n-1（n∈N^*），
当n≥2时，b₁+3b₂+…+（2n-3）b_n-1=5+（2n-5）2^n-2，即可得出b_n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵对任意n∈N^*有a_n•S_n=2n³-n²，∴当n=1，2时，a₁•a₁═2-1，a₂（a₁+a₂）=2×2³-2²，a_n＞0，解得a₁=1，a₂=3．
∴公差d=a₂-a₁=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）假设存在数列{b_n}，使得数列{a_nb_n}的前n项和为A_n=5+（2n-3）2^n-1（n∈N^*），
∴b₁+3b₂+…+（2n-1）b_n=5+（2n-3）2^n-1（n∈N^*），
∴当n≥2时，b₁+3b₂+…+（2n-3）b_n-1=5+（2n-5）2^n-2，
∴（2n-1）b_n=（2n-1）•2^n-2，
解得b_n=2^n-2，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2（n∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$．
因此假设成立，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{{2}^{n-2}，n≥2（n∈{N}^{*}）}\end{array}\right.$．
当n=1时，T₁=4．
当n≥2时，T_n=4+1+2+…+2^n-2
=$\frac{7}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（{2}^{n}-1）}{2-1}$
=2^n-1+3，
上式对于n=1时也成立．
∴T_n=2^n-1+3．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的定义通项公式前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．