Question

7．若S_n为数列{a_n}的前n项和且S_n=n²+3n，若{b_n}为等比数列且b₂=4，b₅=32．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，T_n数列{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式可得a_n，利用等比数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=n²+3n，∴当n=1时，a₁=4；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n²+3n）-[（n-1）²+3（n-1）]=2n+2，当n=1时，上式也成立．
∴a_n=2n+2．
设等比数列{b_n}的公比为q，∵b₂=4，b₅=32．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{1}q=4}\\{{b}_{1}{q}^{4}=32}\end{array}\right.$，解得b₁=q=2，
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=a_n•b_n=（2n+2）•2ⁿ=（n+1）•2ⁿ⁺¹．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=2×2²+3•2³+4×2⁴…+（n+1）•2ⁿ⁺¹．
2T_n=2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=8+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（n+1）•2ⁿ⁺²=$4+\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-（n+1）•2ⁿ⁺²=-n×2ⁿ⁺²，
∴T_n=n×2ⁿ⁺²．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式与前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．