Question

19．已知f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R，满足f（ab）=af（b）+bf（a），$f（2）=2，{a_n}=\frac{{f（{2^n}）}}{2n}（n∈{N^*}），{b_n}=\frac{{f（{2^n}）}}{2^n}（n∈{N^*}）$，则数列{a_nb_n}的前n项和S_n=（n-1）•2ⁿ+1．

Answer 1

分析 运用抽象函数和等差数列的定义，可得b_n=n，再求a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{2n}$=2^n-1，运用错位相减法，可得数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

解答 解：由f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，（n∈N^*），
b_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$，b_n+1=$\frac{f（{2}^{n+1}）}{{2}^{n+1}}$=$\frac{2f（{2}^{n}）+{2}^{n}•f（2）}{{2}^{n+1}}$=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$+1=b_n+1，
则b_n为等差数列，b_n=b₁+n-1=$\frac{f（2）}{2}$+n-1=n，
f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n•2ⁿ，
∴a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{2n}$=2^n-1，
a_nb_n=n•2^n-1，
设S_n=1•2⁰+2•2¹+…+n•2^n-1，
2S_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
两式相减可得-S_n=1+2¹+…+2^n-1-n•2ⁿ
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ，
化简可得S_n=（n-1）•2ⁿ+1．
故答案为：（n-1）•2ⁿ+1．

点评 本题考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查等差数列和等比数列的通项和求和公式，以及抽象函数的赋值法的运用，属于中档题．