Question

4．已知f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ln[2x²-2（a+1）x+a（a+1）]，其中0＜a＜2
（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）
（2）讨论函数f（x）在D上的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的定义得到不等式组解出即可；（2）先求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间．

解答 解：（1）由题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{2x}^{2}-2（a+1）x+a（a+1）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{{2（x-\frac{a+1}{2}）}^{2}+\frac{{（a-1）}^{2}}{2}＞0}\end{array}\right.$，
∴x＞0，
∴函数f（x）的定义域D为：（0，+∞）；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4x-2（a+1）}{2[{2x}^{2}-2（a+1）x+a（a+1）]}$
=$\frac{（a+1）（-x+a）}{x[{2x}^{2}-2（a+1）x+a（a+1）]}$，（0＜a＜2），
令f′（x）＞0，解得：x＜a，令f′（x）＜0，解得：x＞a，
∴f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，对数函数的定义，是一道中档题．