Question

【题目】如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

（1）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图（a），取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．

又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，

∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．

设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE= ，

于是在Rt△BEM中，

即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为 ．

（2）解：在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，

事实上，如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1，FG，

因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，

因此D1C∥A1B，又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B，这说明A1，B，G，E共面，所以BG平面A1BE

因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG=C1C=B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F∥平面A1BE．

【解析】（1）先取AA1的中点M，连接EM，BM，根据中位线定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB1A1 ， 则EM⊥面ABB1A1 ， 从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，则∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角，设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F平面A1BE，分别取C1D1和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD1 ， FG，因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1=BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，根据中位线定理可知EG∥A1B，从而说明A1 ， B，G，E共面，则BG面A1BE，根据FG∥C1C∥B1G，且FG=C1C=B1B，从而得到四边形B1BGF为平行四边形，则B1F∥BG，而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，根据线面平行的判定定理可知B1F∥平面A1BE．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．