Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3-

1

2

a2x2+2x+1，其中a∈R．
（1）若f（x）在x∈R时存在极值，求a的取值范围；
（2）若f（x）在[-1，

1

2

]上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

由f（x）=

1

3

ax3-

1

2

a2x2+2x+1得：f′(x)=ax2-a2x+2
（1）①当a=0时，f'（x）=2＞0
∴f（x）单调递增，
∴f（x）不存在极值
②当a≠0时，△=a⁴-8a≤0，即0＜a≤2，f'（x）≥0或f'（x）≤0恒成立
∴f（x）不存在极值a的范围为0≤a≤2
∴f（x）存在极值a的范围为a＜0或a＞2．
（2）由题意f′（x）≥0在（-1，

1

2

]恒成立
①当a=0时f'（x）=2＞0恒成立
∴a=0合题意
②当a＜0时

f′(-1)=a+a2+2≥0…a∈R f′( 1 2 )= 1 4 a- 1 2 a2+2≥0… 1- 65 4 ≤a≤ 1+ 65 4

∴

1- 65

4

≤a＜0
③当a＞0时f'（x）的对称轴为x=

a

2

．
若0＜

a

2

≤

1

2

，则△=a4-8a≤0即0≤a≤2
∴0＜a≤1
若

a

2

＞

1

2

即a＞1则f′(x)在[-1，

1

2

]为单减函数

∴f′( 1 2 )≥0即 1 4 a- 1 2 a2

+2≥0．
∴

1- 65

4

≤a≤

1+ 65

4

综上：①②③得：f（x）在[-1，

1

2

]上为增函数，
a的取值范围是

1- 65

4

≤a≤

1+ 65

4