Question

14．已知函数f（x）=x³-12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m的取值范围是[-1，1）．

Answer 1

分析 由函数f（x）=x³-12x在（2m，m+1）内单调递减转化成f′（x）≤0在（2m，m+1）内恒成立，得到关于m的关系式，即可求出m的范围．

解答 解：∵函数f（x）=x³-12x在（2m，m+1）上单调递减，
∴f'（x）=3x²-12≤0在（2m，m+1）上恒成立．
故 $\left\{\begin{array}{l}f′（2m）≤0\\ f′（m+1）≤0\\ 2m＜m+1\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}8{m}^{3}-24m≤0\\（m+1）^{3}-12（m+1）≤0\\ 2m＜m+1\end{array}\right.$成立．
解得-1≤m＜1
故答案为：[-1，1）．

点评 此题主要考查利用导函数的正负判断原函数的单调性，考查函数的恒成立，转化思想的应用，属于中档题．