Question

设函数f(x)=x³+ax²+bx在点x=1处有极值-2.
（1）求常数a,b的值；
（2）求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积.

Answer 1

（1）a=0,b=-3（2）

 （1）由题意知f′(x)=3x²+2ax+b,

f(1)=-2且f′(1)=0,
即，解得a=0,b=-3,
即f(x)=x³-3x.
(2)作出曲线y=x³-3x的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x³-3x=0得曲线y=x³-3x与x轴的交点坐标是(-,0),(0,0)和(,0)，而y=x³-3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称.
所以(-,0)的阴影面积与(0, )的阴影面积相等.
所以所求图形的面积为
S=2［0-(x³-3x)］dx
=-2（x⁴-x²）|=.