Question

【题目】如图，四棱锥的底面是平行四边形，，是的中点，.

（1）求证：平面；

（2）若，，点在侧棱上，且，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）设是的中点，可得，所以，又由，可得平面.

（2）由二面角的定义找到二面角的平面角，得到，建系求得平面的一个法向量及直线的方向向量，利用公式求解.

（1）平行四边形中，设是的中点，连结

因为是的中点，所以

又由，得

所以，平行四边形中，，则

又由，且，平面，平面，

故平面

（2）由（1）知平面，

又平面，

于是平面平面，连结，

由，可得，

则，又

所以平面

得，

故二面角的平面角为

由此得

以为原点，，，方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，由可知点，

则，，

设平面的一个法向量为，

由 得

设直线与平面所成角为

所以