Question

【题目】定义在R上的函数满足，且对任意的都有其中为的导数，则下列一定判断正确的是( )

A.B.

C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

根据条件对任意的x≥1都有，f′（x）+2f（x）＞0，构造函数F（x）＝e2xf（x），则F'（x）＝2e2xf（x）+e2xf'（x）＝e2x[2f（x）+f'（x）]，可得F（x）在x≥1时单调递增．由e4（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），注意到F（x+2）＝e2（x+2）f（x+2）； F（﹣x）＝e﹣2xf（﹣x）；代入已知表达式可得：F（x+2）＝F（﹣x），所以F（x）关于x＝1对称，则由F（x）在x≥1时单调递增，化简即可得出结果．

设F（x）＝e2xf（x），则F'（x）＝2e2xf（x）+e2xf'（x）＝e2x[2f（x）+f'（x）]，

∵对任意的x≥1都有f′（x）+2f（x）＞0；

则F'（x）＞0，则F（x）在[1，+∞）上单调递增；

F（x+2）＝e2（x+2）f（x+2）； F（﹣x）＝e﹣2xf（﹣x）；

因为e4（x+1）f（x+2）＝f（﹣x），

∴e2xe2x+2f（x+2）＝f（﹣x）；∴e2x+2f（x+2）＝e﹣2xf（﹣x）

∴F（x+2）＝F（﹣x），所以F（x）关于x＝1对称，则F（﹣2）＝F（4），

∵F（x）在[1，+∞）上单调递增；

∴F（3）＜F（4）即F（3）＜F（﹣2），∴e6f（3）＜e﹣4f（﹣2）；

即e10f（3）＜f（﹣2）成立．故D不正确；

F（3）＝F（﹣1），F（0）＝F（2）故A，C 均错误；

F（3）＞F（2）∴e2f（3）＞f（2）．B正确．

故选：B．