Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，离心率为，且过点(4,).

(1)求此双曲线的方程；

(2)若点M(3,m)在此双曲线上，求证：

Answer 1

思路点拨：由题意先判定所求的方程形式是双曲线的标准方程形式，再由离心率为，从而确定a、b间的关系，从而将相应方程设出，进而由曲线过已知点，从而求得方程.

解：(1)∵离心率e==，∴a=b，设双曲线方程为x²-y²=n，∵(4,)在双曲线上，∴n=4²-()²=6.∴双曲线方程为x²-y²=6.

(2)∵M(3,m)在双曲线上，则3²-m²=6，m=±，即点M(3,±)，×=，

∴.

［一通百通］ 涉及求有关圆锥曲线的方程问题，求解过程中通常应当注意判断相应曲线的方程形式，否则容易出错.有关证明向量或直线垂直问题，通常可以考虑证明对应直线的斜率之积是-1或对应向量之积为零.