Question

过椭圆

x2

16

+

y2

4

=1上一点P作圆x²+y²=2的两条切线，切点为A，B，过A，B的直线与两坐标轴的交点为M，N，则△MON的面积的最小值为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  3

• C．

  1

  2

• D．2

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则PA、PB的方程分别为x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2，而PA、PB交于P（x₀，y₀），由此能求出AB的直线方程，从而可得三角形的面积，利用基本不等式可求最值．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则PA、PB的方程分别为x₁x+y₁y=2，x₂x+y₂y=2，
而PA、PB交于P（x₀，y₀）
即x₁x₀+y₁y₀=2，x₂x₀+y₂y₀=2，
∴AB的直线方程为：x₀x+y₀y=2
∴M（

2

x0

，0），N（0，

2

y0

）
∴S_△MON=

1

2

|OM|•|ON|=|

2

x0y0

|
∵|x₀y₀|=8|

x0

4

•

y0

2

|≤4（

x02

16

+

y02

4

）=4
∴S_△MON≥

1

2

当且仅当

x0

4

=

y0

2

时，△MON的面积的最小值为

1

2

故选C．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的综合运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．