Question

6．已知c＞0，设命题P：函数y=log_cx为减函数；命题Q：当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立，如果P或Q为真命题，P且Q为假命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析 由c＞0，命题p：函数y=log_c^x为减函数．可得0＜c＜1．命题q：当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）＞$\frac{1}{c}$恒成立，可得$\frac{1}{c}$＜（x+$\frac{1}{x}$）min=2，利用基本不等式即可得出c＞$\frac{1}{2}$．由p或q为真命题，p且q为假命题，可得p，q中必然一个真命题一个为假命题．解出即可．

解答 解：由c＞0，命题p：函数y=log_c^x为减函数．
∴0＜c＜1．
命题q：当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$＞$\frac{1}{c}$恒成立，可得$\frac{1}{c}$＜（x+$\frac{1}{x}$）_min=2，
∴$\frac{1}{c}$＜2，
又c＞0，
∴c＞$\frac{1}{2}$．
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p，q中必然一个真命题一个为假命题．
①当p真q假时，0＜c≤$\frac{1}{2}$，c的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$]．
②当q真p假时，c≥1，c的取值范围是[1，+∞）．
故实数c的取值范围为：（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）．

点评 本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的真假的判断等基础知识，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．