Question

（2012•长春模拟）给出下列四个命题：
①?x₀∈R，使得

1

2

sinx₀+

3

2

cosx₀＞1；
②设f（x）=sin（2x+

π

3

），则?x∈（-

π

3

，

π

6

），必有f（x）＜f（x+0.1）；
③设f（x）=cos（x+

π

3

），则函数y=f（x+

π

6

）是奇函数；
④设f（2x）=2sin2x，则f（x+

π

3

）=2sin（2x+

π

3

）．
其中正确的命题的序号为

①③

（把所有满足要求的命题序号都填上）．

Answer 1

分析：直接找出x₀∈R，说明①的正误；通过特例判断②的正误；利用函数的奇偶性判断③的正误；利用函数的运算判断④的正误．

解答：解：对于①?x₀∈R，使得

1

2

sinx₀+

3

2

cosx₀＞1；可取x₀=0，

3

2

＞1，正确；
对于②设f（x）=sin（2x+

π

3

），则?x∈（-

π

3

，

π

6

），
例如x=

π

12

，必有f（

π

12

）=1，f（

π

12

+0.1）＜1；所以②不正确；
对于③设f（x）=cos（x+

π

3

），则函数y=f（x+

π

6

）=-sinx，是奇函数；正确；
对于④设f（2x）=2sin2x，f（x）=2sinx，则f（x+

π

3

）=2sin（x+

π

3

）≠2sin（2x+

π

3

），不正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查命题的真假判断，三角函数的基本性质的应用，考查计算能力．