Question

19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AB=1，∠ABC=60°，PD与平面ABCD所成的角是45°．点E是BC的中点，点F在边PB上．
（1）当F位于PB什么位置时，EF∥平面PAC；
（2）证明：平面PBC⊥平面PAE．

Answer 1

分析 （1）由点E是BC的中点，点F是PB中点，得EF∥PC，由此得到EF∥平面PAC．
（2）由已知得AC=AB=1，∠PDA=45°，PA=1，从而BC⊥AE，BC⊥PE，由此能证明平面PBC⊥平面PAE．

解答 解：（1）当F是PB中点时，EF∥平面PAC．
理由如下：
∵点E是BC的中点，点F是PB中点，
∴EF∥PC，
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
证明：（2）∵PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，
AB=1，∠ABC=60°，PD与平面ABCD所成的角是45°，点E是BC的中点，
∴AC=AB=1，∠PDA=45°，∴PA=1，
∴BC⊥AE，PC=PB，∴BC⊥PE，
∵AE∩PE=E，∴BC⊥平面PAE，
∵BC?PBC，∴平面PBC⊥平面PAE．

点评 本题考查使线面平行的点的位置的判断与求法，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．