Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为

3

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．

Answer 1

解析：（1）由已知得

2a=2×2b c a = 3 2 c2=a2-b2

解得

a=2 b=1

，
所以椭圆C的方程：

x2

4

+y2=1；
（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0），
联立

y=kx+m x2 4 +y2=1

 消去y并整理，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
则△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
此时设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），则x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4(m2-1)

1+4k2

，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k²?-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
由m≠0得：k2=

1

4

?k=±

1

2

．
又由△＞0 得：0＜m²＜2，显然m²≠1（否则：x₁x₂=0，则x₁，x₂中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，矛盾！）
设原点O到直线l的距离为d，则
S△OMN=

1

2

|MN|d=

1

2

×

|m|

1+k2

1+k2

|x1-x2|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

-(m2-1)2+1

，
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．